מצאו את משוואת הקו הישר העובר דרך הנקודות \((13,8)\) ו-\((5,0)\).

פתרון. השיפוע: \(m=\dfrac{8-0}{13-5}=1\). לפי הנקודה \((5,0)\): \(y=1\cdot(x-5)+0=x-5\). בדיקה לפי הנקודה \((13,8)\): \(y=1\cdot(x-13)+8=x-5\) – אותה משוואה, כצפוי.

גוף נע לאורך ציר \(x\). מיקומו בזמנים \(t=0,3,5,8,10\,\text{s}\) הוא \(x=2,8,5,5,0\,\text{m}\) בהתאמה, ובין הנקודות התנועה במהירות קבועה. רשמו את \(x(t)\) ואת השיפוע (המהירות) בכל קטע.

פתרון. בכל קטע מחשבים שיפוע ומציבים בנוסחת הקו:

\[x(t)=\begin{cases}2t+2, & 0\le t\le 3\\ -\tfrac{3}{2}(t-3)+8, & 3<t\le 5\\ 5, & 5<t\le 8\\ -\tfrac{5}{2}(t-8)+5, & 8<t\le 10\end{cases}\qquad v=\begin{cases}2\\ -1.5\\ 0\\ -2.5\end{cases}\ \text{m/s}\]

א. מהי ההצגה הקרטזית של \(\vec a=(5,210^\circ)\)? ב. מהי ההצגה הפולרית של \(\vec b=(7,-10)\) ושל \(\vec c=(-15,-5)\)?

פתרון. א. \(\vec a=(5\cos210^\circ,\,5\sin210^\circ)=(-4.33,\,-2.5)\).

ב. \(|\vec b|=\sqrt{49+100}=12.21\), \(\arctan(-10/7)=-55.0^\circ\); הווקטור ברביע הרביעי ולכן \(\vec b=(12.21,\,-55.0^\circ)\equiv(12.21,\,305.0^\circ)\).

\(|\vec c|=\sqrt{225+25}=15.81\), \(\arctan(-5/-15)=18.4^\circ\), אבל \(c_x<0\) – הווקטור ברביע השלישי ולכן \(\theta=18.4^\circ+180^\circ=198.4^\circ\equiv-161.6^\circ\).

מהי הזווית בין \(\vec a=(2,-3,7)\) ל-\(\vec b=(1,5,2)\)?

פתרון. \(\vec a\cdot\vec b=2-15+14=1\), \(|\vec a|=\sqrt{62}\), \(|\vec b|=\sqrt{30}\), ולכן \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{62}\sqrt{30}}=0.0232\) ו-\(\theta=88.67^\circ\).

מצאו וקטור יחידה הניצב גם ל-\(\vec a=(2,-3,7)\) וגם ל-\(\vec b=(1,5,2)\).

פתרון. \(\vec c=\vec a\times\vec b=\big((-3)(2)-7\cdot5,\;7\cdot1-2\cdot2,\;2\cdot5-(-3)\cdot1\big)=(-41,\,3,\,13)\).

בדיקה: \(\vec a\cdot\vec c=-82-9+91=0\) ו-\(\vec b\cdot\vec c=-41+15+26=0\). הגודל: \(|\vec c|=\sqrt{1859}=43.12\), ובהתאם ל-\(|\vec a||\vec b|\sin88.67^\circ=\sqrt{62}\sqrt{30}\cdot0.99973=43.12\). וקטור היחידה: \(\hat c=(-41,3,13)/43.12\).

על גוף פועלים ארבעה כוחות כבאיור: \(F_1=20\,\text{N}\) כלפי מטה, \(F_2=15\,\text{N}\) בזווית \(\alpha\) מתחת לכיוון השלילי של ציר \(x\), \(F_3=15\,\text{N}\) בזווית \(\alpha\) מהכיוון החיובי של ציר \(y\), ו-\(F_4\) אופקי. מהו שקול הכוחות בכיוון \(y\)?

פתרון. \(F_1\) כולו נגד הציר: \(-20\). ל-\(F_4\) אין היטל אנכי: \(0\). ל-\(F_2\) היטל נגד הציר: \(-15\sin\alpha\). ל-\(F_3\) היטל עם הציר: \(+15\cos\alpha\). לכן

\[\Sigma F_y=-20+0-15\sin\alpha+15\cos\alpha\ \ [\text{N}]\]

נתונים \(\vec a=(3,-4,0)\) ו-\(\vec b=(1,2,2)\). חשבו: א. \(|\vec a|\), \(|\vec b|\); ב. \(\vec a+\vec b\), \(\vec a-\vec b\); ג. \(\vec a\cdot\vec b\) והזווית ביניהם; ד. \(\vec a\times\vec b\). ← לפתרון

מצאו את ההצגה הפולרית (בשתי המוסכמות) של \(\vec d=(-6,\,8)\) ושל \(\vec e=(-2,\,-2\sqrt3)\). ← לפתרון

עבור אילו ערכים של \(\lambda\) הווקטורים \(\vec p=(\lambda,\,2,\,-1)\) ו-\(\vec q=(\lambda,\,\lambda,\,3)\) ניצבים זה לזה? ← לפתרון

א. \(|\vec a|=5\), \(|\vec b|=3\). ב. \(\vec a+\vec b=(4,-2,2)\), \(\vec a-\vec b=(2,-6,-2)\). ג. \(\vec a\cdot\vec b=3-8+0=-5\), \(\cos\theta=-5/15=-1/3\), \(\theta=109.5^\circ\). ד. \(\vec a\times\vec b=\big((-4)(2)-0\cdot2,\;0\cdot1-3\cdot2,\;3\cdot2-(-4)\cdot1\big)=(-8,-6,10)\). ↑ חזרה לשאלה

\(|\vec d|=10\); \(\vec d\) ברביע השני: \(\theta=180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ\) (זהה בשתי המוסכמות). \(|\vec e|=4\); \(\vec e\) ברביע השלישי: \(\theta=240^\circ\equiv-120^\circ\). ↑ חזרה לשאלה

\(\vec p\cdot\vec q=\lambda^2+2\lambda-3=(\lambda+3)(\lambda-1)=0\), ולכן \(\lambda=1\) או \(\lambda=-3\). ↑ חזרה לשאלה

נתון \(\vec a(t)=\big(-1,\;e^{-2t},\;\cos3t\big)\,\text{m/s}^2\), ובזמן \(t=1\,\text{s}\): \(\vec v(1)=(-1,0,3)\,\text{m/s}\) ו-\(\vec r(1)=(0,2,0)\,\text{m}\). מצאו את \(\vec v(t)\) ואת \(\vec r(t)\).

פתרון.

\[\vec v(t)=(-1,0,3)+\int_1^t\big(-1,e^{-2t'},\cos3t'\big)dt'=\left(-t,\;\frac{e^{-2}-e^{-2t}}{2},\;3+\frac{\sin3t-\sin3}{3}\right)\]

\[\vec r(t)=(0,2,0)+\int_1^t\vec v\,dt'=\left(\frac{1-t^2}{2},\;\;2+\frac{e^{-2}}{2}(t-1)+\frac{e^{-2t}-e^{-2}}{4},\;\;\Big(3-\frac{\sin3}{3}\Big)(t-1)-\frac{\cos3t-\cos3}{9}\right)\]

בדיקה: בהצבת \(t=1\) מתקבל \((0,2,0)\), וגזירה מחזירה את \(\vec v(t)\).

\(\vec v(t)=\big(5,\cos3t,\sin3t\big)\,\text{m/s}\). מהי הדרך שעבר הגוף בין \(t_1=5\,\text{s}\) ל-\(t_2=17\,\text{s}\)?

פתרון. \(|\vec v|=\sqrt{25+\cos^23t+\sin^23t}=\sqrt{26}\) – קבוע. לכן \(s=\sqrt{26}\,(17-5)=61.19\,\text{m}\). (המסלול הוא בורג – סליל – שצירו בכיוון \(x\).)

\(\vec r(t)=(t^2,\;1-t,\;5)\,\text{m}\). מצאו את גדלי ווקטורי התאוצה המשיקית והנורמלית.

פתרון. \(\vec v=(2t,-1,0)\), \(|\vec v|=\sqrt{4t^2+1}\), \(\vec a=(2,0,0)\).

\[a_t=\frac{4t}{\sqrt{4t^2+1}},\quad \vec a_t=\frac{4t}{4t^2+1}(2t,-1,0),\quad \vec a_N=\vec a-\vec a_t=\left(\frac{2}{4t^2+1},\frac{4t}{4t^2+1},0\right),\quad |\vec a_N|=\frac{2}{\sqrt{4t^2+1}}\]

בדיקה: \(a_t^2+a_N^2=\dfrac{16t^2+4}{4t^2+1}=4=|\vec a|^2\). ✓

גוף מתחיל ממנוחה בראשית, ותאוצתו \(\vec a(t)=(6t,\;2,\;0)\,\text{m/s}^2\). מצאו את \(\vec v(t)\) ואת \(\vec r(t)\), ואת גודל המהירות ב-\(t=1\,\text{s}\). ← לפתרון

גוף נע לאורך ציר \(x\) במהירות \(v(t)=4-2t\,\text{m/s}\). מצאו את ההעתק ואת הדרך בין \(t=0\) ל-\(t=4\,\text{s}\). ← לפתרון

\(\vec r(t)=(3\cos2t,\;3\sin2t,\;4t)\,\text{m}\). הראו שגודל המהירות קבוע, ומצאו את \(a_t\) ואת \(|\vec a_N|\). ← לפתרון

\(\vec v=(3t^2,\,2t,\,0)\), \(\vec r=(t^3,\,t^2,\,0)\); \(|\vec v(1)|=\sqrt{9+4}=3.61\,\text{m/s}\). ↑ חזרה לשאלה

ההעתק: \(\int_0^4(4-2t)dt=16-16=0\). הגוף נעצר ב-\(t=2\,\text{s}\) ומחליף כיוון, לכן הדרך: \(\int_0^2(4-2t)dt+\int_2^4(2t-4)dt=4+4=8\,\text{m}\). ↑ חזרה לשאלה

\(\vec v=(-6\sin2t,\,6\cos2t,\,4)\), \(|\vec v|=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\) – קבוע, ולכן \(a_t=0\). \(\vec a=(-12\cos2t,-12\sin2t,0)\), ולכן \(|\vec a_N|=|\vec a|=12\,\text{m/s}^2\). ↑ חזרה לשאלה

גוף נע נגד כיוון השעון במהירות זוויתית \(\omega(t)=4t^3\ \text{rad/s}\) על מעגל ברדיוס \(R=2\,\text{m}\). ב-\(t=0\) הזווית היא \(\theta_0=1.4\,\text{rad}\). 1. מצאו את \(\theta(t)\), ובפרט ב-\(t=3\,\text{s}\). 2. מהי הזווית הנסרקת בין \(t=3\) ל-\(t=7\,\text{s}\), וכמה סיבובים שלמים בוצעו? 3. מהי הדרך בפרק זמן זה? 4. מצאו את \(v(t)\), את \(\vec r(t)\), ואת וקטורי התאוצה המשיקית והנורמלית.

פתרון. 1. \(\theta(t)=1.4+\int_0^t4t'^3dt'=1.4+t^4\); \(\theta(3)=82.4\,\text{rad}\). 2. \(\Delta\theta=\theta(7)-\theta(3)=2402.4-82.4=2320\,\text{rad}\); מספר הסיבובים \(2320/2\pi=369.2\), כלומר 369 סיבובים שלמים. 3. \(\omega\) חיובית כל הזמן (הגוף לא מחליף כיוון), לכן הדרך היא אורך הקשת: \(s=R\Delta\theta=4640\,\text{m}\). 4. \(v=R\omega=8t^3\,\text{m/s}\); \(\vec r(t)=2\big(\cos(1.4+t^4),\,\sin(1.4+t^4)\big)\); \(\alpha=12t^2\), ולכן \(\vec a_t=24t^2\big(-\sin\theta,\cos\theta\big)\) ו-\(\vec a_N=-32t^6\big(\cos\theta,\sin\theta\big)\), כאשר \(\theta=1.4+t^4\).

גוף נע על מעגל נגד כיוון השעון, ומיקומו לאורך הקשת \(s(t)=2t^3+t^2\,\text{m}\) (מ-\(\vec r(0)=(R,0)\)). ב-\(t=1\,\text{s}\) גודל התאוצה הכוללת \(|\vec a|=2\sqrt{53}\,\text{m/s}^2\). מצאו את \(R\) ואת וקטורי התאוצה.

פתרון. \(v=\dot s=6t^2+2t\), \(a_t=\dot v=12t+2\). ב-\(t=1\): \(v=8\), \(a_t=14\). \(\;(64/R)^2+14^2=4\cdot53=212\Rightarrow 64/R=4\Rightarrow R=16\,\text{m}\).

\(\theta=s/R=\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{t^2}{16}\), \(\omega=\dfrac{3t^2}{8}+\dfrac{t}{8}\), \(\alpha=\dfrac{3t}{4}+\dfrac18\), ולכן \(\vec a_t=16\alpha(-\sin\theta,\cos\theta)\) ו-\(\vec a_N=-16\omega^2(\cos\theta,\sin\theta)\).

גלגל ברדיוס \(0.4\,\text{m}\) מתחיל ממנוחה ומאיץ בתאוצה זוויתית קבועה \(\alpha=2\,\text{rad/s}^2\). מצאו ב-\(t=3\,\text{s}\) את \(\omega\), את המהירות של נקודה על השפה, את \(a_t\), את \(a_N\) ואת מספר הסיבובים שבוצעו. ← לפתרון

לוויין מקיף את כדור הארץ פעם ב-\(90\) דקות ברדיוס \(6.7\times10^6\,\text{m}\). מהי מהירותו ומהי תאוצתו? ← לפתרון

\(\omega=\alpha t=6\,\text{rad/s}\); \(v=r\omega=2.4\,\text{m/s}\); \(a_t=r\alpha=0.8\,\text{m/s}^2\); \(a_N=\omega^2r=14.4\,\text{m/s}^2\); \(\Delta\theta=\tfrac12\alpha t^2=9\,\text{rad}\), כלומר \(9/2\pi=1.43\) סיבובים (סיבוב שלם אחד). ↑ חזרה לשאלה

\(\omega=2\pi/5400=1.164\times10^{-3}\,\text{rad/s}\), \(v=\omega r=7.80\,\text{km/s}\), \(a_N=\omega^2r=9.07\,\text{m/s}^2\) – כמעט \(g\), כצפוי (ראו פרק 11). ↑ חזרה לשאלה

סירה שטה בקו ישר מנקודת עגינה \(A\) לנקודה \(B\) (המרחק \(AB=500\,\text{km}\)) וחוזרת. ההלוך נמשך שעה אחת והחזור שעתיים. המנוע מקנה לסירה מהירות \(500\,\text{km/h}\) ביחס למים. במים יש זרם קבוע שגודלו וכיוונו לא ידועים. 1. מהי מהירות הסירה ביחס לחוף בהלוך ובחזור? 2. מהי מהירות הזרם ומה כיוונה ביחס לקו \(AB\)?

פתרון. 1. ביחס לחוף הסירה נעה לאורך \(AB\): בהלוך \(500/1=500\,\text{km/h}\) ובחזור \(500/2=250\,\text{km/h}\).

2. נסמן ב-\(\hat u\) את הכיוון \(A\to B\), וב-\(\vec w\) את הזרם בזווית \(\theta\) ל-\(\hat u\). מהירות הסירה ביחס למים היא \(\vec v_{\text{קרקע}}-\vec w\) וגודלה \(500\):

\[\text{הלוך: } |500\hat u-\vec w|^2=500^2\;\Rightarrow\; w^2=1000\,w\cos\theta\] \[\text{חזור: } |-250\hat u-\vec w|^2=500^2\;\Rightarrow\; w^2+500\,w\cos\theta=187500\]

מהצבת \(w\cos\theta=w^2/1000\): \(1.5\,w^2=187500\), ולכן \(w=353.6\,\text{km/h}\) ו-\(\cos\theta=w/1000=0.354\), כלומר \(\theta=69.3^\circ\) ביחס לכיוון \(A\to B\). בדיקה: \(\vec w=(125,\,330.7)\); בהלוך \(\vec v_{\text{סירה,מים}}=(375,-330.7)\) ובחזור \((-375,-330.7)\) – בשני המקרים גודל \(500\). ✓

נהר ברוחב \(120\,\text{m}\) זורם במהירות \(3\,\text{m/s}\). שחיין שוחה במהירות \(5\,\text{m/s}\) ביחס למים. א. באיזו זווית ביחס לגדה עליו לשחות כדי להגיע לנקודה שממול? כמה זמן ייקח החצייה? ב. מהו זמן החצייה הקצר ביותר, ולאיזה מרחק במורד הזרם יגיע במקרה זה? ← לפתרון

גשם יורד אנכית במהירות \(8\,\text{m/s}\). מכונית נוסעת במהירות \(15\,\text{m/s}\). באיזו זווית ביחס לאנך רואה הנהג את טיפות הגשם, ומה מהירותן ביחס אליו? ← לפתרון

א. רכיב המהירות נגד הזרם חייב לבטל את הזרם: \(5\cos\varphi=3\), כלומר \(\varphi=53.1^\circ\) ביחס לגדה (במעלה הזרם). רכיב הרוחב \(5\sin\varphi=4\,\text{m/s}\), הזמן \(120/4=30\,\text{s}\). ב. שוחים בניצב לגדה: \(t=120/5=24\,\text{s}\), והסחיפה \(3\cdot24=72\,\text{m}\). ↑ חזרה לשאלה

\(\vec v_{\text{גשם,רכב}}=(0,-8)-(15,0)=(-15,-8)\); הגודל \(17\,\text{m/s}\), והזווית לאנך \(\arctan(15/8)=61.9^\circ\) (הטיפות “באות” מלפנים). ↑ חזרה לשאלה

גוף נזרק מגובה אפס במהירות \(v_0\) בזווית \(\theta\) ונוחת במרחק \(\Delta x\). הראו שזריקה באותה מהירות בזווית \(90^\circ-\theta\) נותנת את אותו טווח.

פתרון. מציבים \(x_0=y_0=0\) ו-\(y(\Delta x)=0\) במשוואת המסלול: \(\Delta x\left(\tan\theta-\dfrac{g\Delta x}{2v_0^2\cos^2\theta}\right)=0\). הפתרון הלא-טריוויאלי:

\[\Delta x=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^2}{g}\sin2\theta\]

מכיוון ש-\(\sin2\theta_1=\sin(180^\circ-2\theta_1)=\sin\big(2(90^\circ-\theta_1)\big)\), הזווית \(\theta_2=90^\circ-\theta_1\) נותנת אותו טווח. הטווח המרבי מתקבל ב-\(\theta=45^\circ\). זמן המעוף: \(T=2v_0\sin\theta/g\).

כדור נזרק אופקית מצוק בגובה \(45\,\text{m}\) במהירות \(12\,\text{m/s}\) (\(g=10\,\text{m/s}^2\)). מתי ובאיזה מרחק מבסיס הצוק יפגע בקרקע? מה מהירותו ברגע הפגיעה (גודל וכיוון)? ← לפתרון

כדור נבעט במהירות \(25\,\text{m/s}\) בזווית \(37^\circ\) (\(\sin37^\circ\approx0.6\)) לעבר קיר במרחק \(30\,\text{m}\) (\(g=10\,\text{m/s}^2\)). באיזה גובה יפגע בקיר? האם הוא עדיין עולה ברגע הפגיעה? ← לפתרון

\(45=\tfrac12\cdot10\,t^2\Rightarrow t=3\,\text{s}\); \(x=12\cdot3=36\,\text{m}\); \(\vec v=(12,-30)\), \(|\vec v|=32.3\,\text{m/s}\) בזווית \(68.2^\circ\) מתחת לאופק. ↑ חזרה לשאלה

\(v_{0x}=20\), \(v_{0y}=15\,\text{m/s}\). \(t=30/20=1.5\,\text{s}\); \(y=15\cdot1.5-5\cdot1.5^2=11.25\,\text{m}\); \(v_y=15-15=0\) – הכדור פוגע בדיוק בשיא המסלול. ↑ חזרה לשאלה

גוף במסה \(m=5\,\text{kg}\) במנוחה בראשית על משטח אופקי חלק. מ-\(t=0\) פועל עליו \(\vec F=3t^2\hat x\,\text{N}\). מצאו את \(\vec a(t)\), \(\vec v(t)\), \(\vec r(t)\).

פתרון. \(\vec a=\vec F/m=0.6t^2\hat x\); \(\vec v=\int_0^t0.6t'^2dt'\,\hat x=0.2t^3\hat x\); \(\vec r=0.05t^4\hat x\).

גוף במסה \(m=5\,\text{kg}\) נזרק לאורך ציר \(x\) במהירות \(30\,\text{m/s}\) על משטח חלק, ומ-\(t=0\) פועל עליו כוח \(\vec F=-\vec v\) (ביחידות SI). מצאו את \(\vec v(t)\), \(\vec a(t)\) ו-\(\vec r(t)\).

פתרון. כאן הכוח אינו פונקציה מפורשת של הזמן, ולכן מפרידים משתנים:

\[m\frac{dv_x}{dt}=-v_x\;\Rightarrow\;\int_{v_x(0)}^{v_x}\frac{dv_x}{v_x}=-\frac15\int_0^tdt\;\Rightarrow\;v_x=30e^{-t/5}\ \text{m/s}\]

\(v_y=0\) (אין מהירות התחלתית בכיוון \(y\)). \(a_x=-6e^{-t/5}\,\text{m/s}^2\), \(x(t)=150\big(1-e^{-t/5}\big)\,\text{m}\) – הגוף מתקרב אסימפטוטית ל-\(150\,\text{m}\).

כדור במסה \(m\) פוגע במים (\(t=0\), בראשית) במהירות \(\vec V_0=-\tfrac{\sqrt3}{2}V\hat x-V\hat y\). במים פועלים עליו כוח הכובד, כוח התנגדות \(\vec f=-b\vec V\) וכוח עילוי \(\vec F_a=2mg\hat y\). 1. שרטטו את הכוחות ב-\(t=0\). 2. רשמו את משוואות התנועה. 3. מצאו את \(\vec V(t)\). 4. מתי מגיע הכדור לעומק המרבי, ומהו וקטור המיקום שם?

פתרון. 2. \(m\dot{\vec V}=-mg\hat y+2mg\hat y-b\vec V\), כלומר \(\dot V_x=-\frac bmV_x\) ו-\(\dot V_y=g-\frac bmV_y\).

3. בדומה לדוגמה 5.2 (סמנו \(\tau=m/b\)): \[V_x=-\frac{\sqrt3}{2}V\,e^{-t/\tau},\qquad V_y=\frac{mg}{b}-\Big(V+\frac{mg}{b}\Big)e^{-t/\tau}\]
4. בעומק המרבי \(V_y=0\): \(t^*=\dfrac mb\ln\!\Big(1+\dfrac{bV}{mg}\Big)\). אינטגרציה נוספת נותנת \[x^*=-\frac{\sqrt3}{2}\,\frac{mV^2}{mg+bV},\qquad y^*=\frac{m^2g}{b^2}\ln\!\Big(1+\frac{bV}{mg}\Big)-\frac{mV}{b}\ (<0)\]

המסות \(m_1\) ו-\(m_2\) נמצאות על שולחנות אופקיים חלקים, משני צדי פתח. חוט אחד עובר מ-\(m_1\) על גלגלת קבועה, יורד, עובר מתחת לגלגלת נעה שאליה תלויה \(m_3\), עולה על גלגלת קבועה שנייה ומגיע ל-\(m_2\). מצאו את התאוצות ואת המתיחות.

פתרון. אורך החוט: \(L=x_1+x_2+2y_3+\text{const}\), ולכן \(\ddot x_1+\ddot x_2+2\ddot y_3=0\). נגדיר תאוצות חיוביות “אל הפתח” ל-\(m_1,m_2\) ו”כלפי מטה” ל-\(m_3\): \(a_1+a_2=2a_3\).

משוואות התנועה: \(T=m_1a_1\), \(T=m_2a_2\), \(m_3g-2T=m_3a_3\). מהצבה:

\[T=\frac{2m_1m_2m_3\,g}{4m_1m_2+m_3(m_1+m_2)},\qquad a_1=\frac{T}{m_1},\quad a_2=\frac{T}{m_2},\quad a_3=\frac{a_1+a_2}{2}\]

בדיקת קצה: עבור \(m_1=m_2=m\) מתקבל \(a_3=\dfrac{m_3g}{m_3+2m}\), ועבור \(m_3\to\infty\): \(a_3\to g\). ✓

מכונת אטווד: שתי מסות \(m_1=3\,\text{kg}\) ו-\(m_2=5\,\text{kg}\) תלויות משני צדי גלגלת אידיאלית. מצאו את התאוצה ואת המתיחות (\(g=9.8\)). ← לפתרון

על גוף במסה \(2\,\text{kg}\) הנמצא במנוחה פועל כוח \(\vec F=(4,\,6t)\,\text{N}\). מצאו את מהירותו ומיקומו כעבור \(2\,\text{s}\) (בהזנחת כובד וחיכוך). ← לפתרון

\(a=\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g=2.45\,\text{m/s}^2\); \(T=m_1(g+a)=36.75\,\text{N}\). ↑ חזרה לשאלה

\(\vec a=(2,3t)\), \(\vec v=(2t,1.5t^2)\), \(\vec r=(t^2,0.5t^3)\). ב-\(t=2\): \(\vec v=(4,6)\,\text{m/s}\), \(\vec r=(4,4)\,\text{m}\). ↑ חזרה לשאלה

גוף במסה \(M=5\,\text{kg}\) במנוחה על משטח מחוספס, \(\mu_s=0.5\), \(\mu_k=0.2\). מושכים אותו בכוח אופקי \(F\). לכל ערך \(F=0,5,9.8,15,20,24.5,25,50\,\text{N}\) קבעו את סוג החיכוך ואת התאוצה.

פתרון. \(f_{s,\max}=\mu_sMg=24.5\,\text{N}\), \(f_k=\mu_kMg=9.8\,\text{N}\). אם \(F\le24.5\): \(f_s=F\), \(a=0\). אם \(F>24.5\): \(a=(F-9.8)/5\).

אדם במסה \(M\) עומד על מאזניים במעלית המאיצה כלפי מעלה בתאוצה \(a\). מה מראים המאזניים?

פתרון. \(N-Mg=Ma\Rightarrow N=M(g+a)\). המאזניים מודדים את \(N\) ומציגים “מסה” \(M_{\text{eff}}=N/g=M(1+a/g)\). בירידה מואצת (\(a<0\)) המסה המדומה קטנה, ובנפילה חופשית (\(a=-g\)) היא אפס.

קובייה \(m=2\,\text{kg}\) מונחת על לוח \(M=8\,\text{kg}\). מקדמי החיכוך בין כל המשטחים: \(\mu_s=0.3\), \(\mu_k=0.2\). על הלוח פועל כוח אופקי \(F(t)=12t^3\,\text{N}\) (\(g=9.8\)). 1. מתי מתחיל הלוח לנוע? 2. מתי מתחילה הקובייה להחליק על הלוח? 3. מהן התאוצות לאחר מכן?

פתרון. 1. הלוח (עם הקובייה) זז כאשר \(F=\mu_s(m+M)g=29.4\,\text{N}\): \(t_1=(29.4/12)^{1/3}=1.348\,\text{s}\).

2. בשלב המשותף: \(F-f_{2,k}=(m+M)a\), כלומר \(a=(12t^3-19.6)/10\). את הקובייה מאיץ רק החיכוך הסטטי מהלוח, שמסוגל לתת לכל היותר \(a_{1,\max}=\mu_sg=2.94\,\text{m/s}^2\). ב-\(t_1\) התאוצה המשותפת היא \((\mu_s-\mu_k)g=0.98<2.94\), ולכן יש שלב של תנועה משותפת. ההחלקה מתחילה כאשר \(a=2.94\): \(12t^3=49\), \(t_2=1.598\,\text{s}\).

3. לאחר \(t_2\): \(a_m=\mu_kg=1.96\,\text{m/s}^2\), ו-\(a_M=\dfrac{12t^3-\mu_kmg-\mu_k(m+M)g}{M}=\dfrac{12t^3-23.52}{8}\).

הערה: שלב משותף קיים כי \(\mu_s\) (בין המסות) גדול מ-\(\mu_s-\mu_k\) (בין הלוח לרצפה).

גוף \(m=5\,\text{kg}\) על מדרון (\(\sin\theta=0.6\), \(\mu_k=0.3\)) נמצא \(4\,\text{m}\) מתחתית המדרון ומקבל מהירות \(10\,\text{m/s}\) במורד. מהי מהירותו בתחתית? (השוו לדוגמה 7.4.)

פתרון. \(N=mg\cos\theta\); \(ma=mg\sin\theta-\mu_kmg\cos\theta\Rightarrow a=g(0.6-0.3\cdot0.8)=3.528\,\text{m/s}^2\). מהקשר ללא זמן: \(v=\sqrt{v_0^2+2a\Delta x}=\sqrt{100+28.22}=11.32\,\text{m/s}\).

גוף \(m_1=2\,\text{kg}\) על מדרון חלק בזווית \(\alpha=30^\circ\) קשור בחוט דרך גלגלת לגוף \(m_2=3\,\text{kg}\) על מדרון מחוספס בזווית \(\beta\) (\(\sin\beta=0.8\)) עם \(\mu_s=0.3\), \(\mu_k=0.2\). המערכת משוחררת ממנוחה. האם תנוע? אם כן – מצאו את התאוצה ואת המתיחות.

פתרון. ללא חיכוך: \(m_2g\sin\beta-m_1g\sin\alpha=23.52-9.8=13.72\,\text{N}>0\) – המגמה: \(m_2\) במורד. \(f_{s,\max}=\mu_sm_2g\cos\beta=5.29\,\text{N}<13.72\) – תהיה תנועה, עם \(f_k=\mu_km_2g\cos\beta=3.53\,\text{N}\):

\[a=\frac{m_2g\sin\beta-m_1g\sin\alpha-f_k}{m_1+m_2}=2.04\,\text{m/s}^2,\qquad T=m_1(a+g\sin\alpha)=13.88\,\text{N}\]

מהי הזווית המרבית של מדרון שעליו גוף יישאר במנוחה, אם \(\mu_s=0.4\)? ואם הגוף כבר מחליק ו-\(\mu_k=0.3\) – באיזו זווית ינוע במהירות קבועה? ← לפתרון

ארגז \(20\,\text{kg}\) נגרר בחבל בזווית \(30^\circ\) מעל האופק בכוח \(100\,\text{N}\); \(\mu_k=0.25\). מצאו את התאוצה. ← לפתרון

מנוחה: \(mg\sin\theta\le\mu_smg\cos\theta\Rightarrow\tan\theta\le0.4\), \(\theta_{\max}=21.8^\circ\). מהירות קבועה: \(\tan\theta=\mu_k=0.3\), \(\theta=16.7^\circ\). ↑ חזרה לשאלה

\(N=mg-F\sin30^\circ=196-50=146\,\text{N}\); \(a=\dfrac{F\cos30^\circ-\mu_kN}{m}=\dfrac{86.6-36.5}{20}=2.51\,\text{m/s}^2\). שימו לב: הרכיב האנכי של החבל מקטין את \(N\) ולכן גם את החיכוך. ↑ חזרה לשאלה

חשבו את העבודה של \(\vec F=(y^2-x^2,\;3xy,\;0)\,\text{N}\) מ-\((0,0)\) ל-\((2,4)\) לאורך: 1. \((0,0)\to(0,4)\to(2,4)\); 2. \((0,0)\to(2,0)\to(2,4)\); 3. הפרבולה \(y=x^2\).

פתרון. 1. על \(x=0\): \(F_y=0\) ולכן \(W_1=0\). על \(y=4\): \(W_2=\int_0^2(16-x^2)dx=32-\tfrac83=\tfrac{88}{3}\,\text{J}\). סה”כ \(\mathbf{29.33\,J}\).

2. על \(y=0\): \(W_1=\int_0^2(-x^2)dx=-\tfrac83\). על \(x=2\): \(F_y=6y\), \(W_2=\int_0^46y\,dy=3y^2\big|_0^4=48\,\text{J}\). סה”כ \(\tfrac{136}{3}=\mathbf{45.33\,J}\).

3. על \(y=x^2\), \(dy=2x\,dx\) – מעבירים הכל למשתנה \(x\): \[W=\int_0^2\big[(x^4-x^2)+3x\cdot x^2\cdot2x\big]dx=\int_0^2(7x^4-x^2)dx=\tfrac75\cdot32-\tfrac83=\mathbf{42.13\,J}\] (אפשר באותה מידה להעביר הכל למשתנה \(y\) ולקבל אותה תוצאה.) העבודה תלויה במסלול – הכוח אינו משמר (ראו סעיף 8.2).

גוף \(m=5\,\text{kg}\) נע לאורך המסלול הפרבולי של דוגמה 7.1, והכוח שם הוא שקול הכוחות. מהירותו ההתחלתית \(6\,\text{m/s}\). מהי מהירותו בסוף?

פתרון. \(42.13=\tfrac52v_f^2-\tfrac52\cdot36\Rightarrow v_f=7.27\,\text{m/s}\).

חרוז \(m=2\,\text{kg}\) נע על מסילה \(y=x^2\) (\(x\ge0\)); מיקומו האנכי \(y=4t^2\). פועלים עליו \(\vec F=(x,y)\), כוח נורמלי, כובד וחיכוך לא ידוע. 1. בטאו את \(\vec r,\vec v,\vec a\) כתלות בזמן. 2. מצאו את \(a_t(t)\). 3. מצאו את עבודת שקול הכוחות מ-\(t=0\). 4. מצאו את עבודת \(\vec F\) כפונקציה של \(x\) ושל \(t\).

פתרון. 1. \(\vec r=(2t,4t^2)\), \(\vec v=(2,8t)\), \(\vec a=(0,8)\). 2. \(a_t=\dfrac{\vec a\cdot\vec v}{|\vec v|}=\dfrac{64t}{\sqrt{4+64t^2}}=\dfrac{32t}{\sqrt{1+16t^2}}\). 3. \(W_{\Sigma F}=\tfrac12\cdot2(4+64t^2)-\tfrac12\cdot2\cdot4=64t^2\,\text{J}\). 4. \(W_F=\int(x\,dx+y\,dy)=\int_0^x(x+2x^3)dx=\tfrac12(x^2+x^4)\); עם \(x=2t\): \(W_F=2t^2+8t^4\,\text{J}\).

פתרו את דוגמה 6.4 בעזרת משפט עבודה–אנרגיה.

פתרון. שקול הכוחות לאורך המדרון קבוע: \(mg(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\), ולכן \(mg(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\Delta x=\tfrac12m(v_f^2-v_i^2)\), ו-\(v_f=\sqrt{v_i^2+2g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\Delta x}=11.32\,\text{m/s}\) – כמו קודם, בלי לחשב תאוצה וזמן.

חשבו את העבודה של \(\vec F=(2xy,\;x^2)\) מ-\((0,0)\) ל-\((1,2)\) לאורך הקו הישר ולאורך \(y=2x^2\). מה ניתן להסיק? ← לפתרון

מכונית \(1200\,\text{kg}\) בולמת ממהירות \(25\,\text{m/s}\) עד עצירה לאורך \(50\,\text{m}\). מהו כוח הבלימה הממוצע ומהו מקדם החיכוך האפקטיבי? ← לפתרון

קו ישר \(y=2x\): \(\int_0^1(2x\cdot2x+x^2\cdot2)dx=\int_0^16x^2dx=2\,\text{J}\). פרבולה \(y=2x^2\), \(dy=4x\,dx\): \(\int_0^1(4x^3+4x^3)dx=2\,\text{J}\). העבודה זהה – הכוח משמר (\(\vec F=\nabla(x^2y)\), ראו פרק 8). ↑ חזרה לשאלה

\(F\cdot50=\tfrac12\cdot1200\cdot625\Rightarrow F=7500\,\text{N}\); \(\mu=F/mg=0.64\). ↑ חזרה לשאלה

\(U=xyz\) (ב-J). מהו הכוח, ומה עבודתו בין \((1,-2,3)\) ל-\((-4,1,-1)\)?

פתרון. \(\vec F=-(yz,xz,xy)\); \(U_i=-6\), \(U_f=4\), \(W=-(4-(-6))=-10\,\text{J}\).

בדקו אם הכוחות \(\vec F_1=(-25x^2y,\;5\sqrt y,\;0)\) ו-\(\vec F_2=(x^2+y^2,\;2xy,\;0)\) משמרים. לכוח המשמר מצאו אנרגיה פוטנציאלית.

פתרון. \(\nabla\times\vec F_1=\big(0,0,\;0-(-25x^2)\big)=(0,0,25x^2)\neq0\) – לא משמר. \(\nabla\times\vec F_2=(0,0,\;2y-2y)=0\) – משמר.

בניית \(U\): מ-\(-\partial U/\partial x=x^2+y^2\) נקבל \(U=-\tfrac{x^3}{3}-xy^2+\varphi(y,z)\). מ-\(-\partial U/\partial y=2xy\): \(2xy-\partial\varphi/\partial y=2xy\), כלומר \(\varphi=\varphi(z)\); ומ-\(-\partial U/\partial z=0\): \(\varphi=\text{const}\). לכן \[U(x,y)=-\frac{x^3}{3}-xy^2+C\] בדיקה: \(-\nabla U=(x^2+y^2,\;2xy,\;0)\). ✓

מסה \(m\) על שולחן אופקי חלק, באמצע בין שני קירות שמרחקם \(2l\), מחוברת לכל קיר בקפיץ (קבוע \(k\), אורך רפוי \(l\)). מושכים אותה מרחק \(l\) בניצב לקפיצים ומשחררים ממנוחה. 1. מהי עבודת הקפיצים עד מעבר בנקודת שיווי המשקל? 2. מהי המהירות שם? 3. מהו הכוח ברגע השחרור?

פתרון. אורך כל קפיץ \(\sqrt2\,l\), ההתארכות \(\Delta l=(\sqrt2-1)l\). 1. \(U_i=2\cdot\tfrac12k\Delta l^2=k\Delta l^2\), \(U_f=0\), ולכן \(W=-\Delta U=kl^2(\sqrt2-1)^2\). 2. \(k\Delta l^2=\tfrac12mv^2\Rightarrow v=\sqrt{2k/m}\,(\sqrt2-1)\,l\). 3. הרכיבים האופקיים מתבטלים; כל קפיץ תורם \(k\Delta l\cos45^\circ\) בכיוון שיווי המשקל: \(F=2k(\sqrt2-1)l/\sqrt2=\sqrt2(\sqrt2-1)kl\).

חרוז \(m=6\,\text{kg}\) מחליק על חוט חלק בצורת \(y=0.81x^2\) (במישור אנכי). הוא מחובר לקפיץ (\(k=20\,\text{N/m}\)) שקצהו השני מקובע בנקודה \((-2,0)\), ואורכו הרפוי \(3.24\,\text{m}\). בנוסף פועל עליו הכוח הלא-משמר \(\vec F_1=(-25x^2y,\;5\sqrt y,\;0)\,\text{N}\) של דוגמה 8.2. החרוז יוצא מ-\(x_A=-2\,\text{m}\) במהירות \(3\,\text{m/s}\). מהי מהירותו בתחתית (\(x=0\))?

פתרון. ב-\(A\): \(y_A=3.24\,\text{m}\), מרחק מהעוגן \(3.24\) – הקפיץ רפוי. בתחתית: מרחק \(2\,\text{m}\), \(\Delta l_f=1.24\,\text{m}\).

\[W_{\text{nc}}=\int_{-2}^{0}(-25x^2)(0.81x^2)dx+\int_{3.24}^{0}5\sqrt y\,dy=-129.6-19.44=-149.04\,\text{J}\] \(E_T^i=\tfrac12\cdot6\cdot9+6\cdot9.8\cdot3.24+0=217.51\,\text{J}\); \(E_T^f=3v_f^2+\tfrac12\cdot20\cdot1.24^2=3v_f^2+15.38\). \(217.51-149.04=3v_f^2+15.38\Rightarrow v_f=4.21\,\text{m/s}\).

1. מאיזה גובה מינימלי \(H\) יש לשחרר כדור קטן על מסילה חלקה כדי שישלים לופ ברדיוס \(R\)? 2. מהו הכוח הנורמלי בנקודה \(A\) (תחתית הלופ) מיד לפני ומיד אחרי הכניסה ללופ? 3. מחברים בראש הלופ חצי-מעגל משיק ברדיוס \(R/2\). מהו \(N\) בראש מיד לפני ומיד אחרי המעבר? 4. באיזו מהירות יוצא הכדור מהמעגל הקטן (בגובה \(R\))?

פתרון. 1. \(mgH=\tfrac12m(5gR)\Rightarrow H=\tfrac52R\). 2. לפני (קטע ישר): \(N=mg\). אחרי (תחילת המעגל): \(N-mg=mv^2/R=5mg\Rightarrow N=6mg\) – קפיצה בכוח הנורמלי. 3. בראש \(v^2=gR\): על המעגל הגדול \(N=mgR/R-mg=0\); על הקטן (\(r=R/2\)): \(N=mgR/(R/2)-mg=mg\). 4. \(mg\tfrac52R=mgR+\tfrac12mv^2\Rightarrow v=\sqrt{3gR}\).

גוף נזרק במהירות \(v_0=2\sqrt{gR}\) מתחתית מסילה מעגלית חלקה (בצדה הפנימי). היכן יתנתק מהמסילה?

פתרון. \(\sqrt{2gR}<v_0<\sqrt{5gR}\) – הגוף עולה מעל גובה \(R\) אך לא ישלים את הלופ, ולכן יתנתק. בזווית \(\theta\) מהתחתית, הרכיב הרדיאלי: \(N-mg\cos\theta=mv^2/R\). בניתוק \(N=0\): \(v^2=-gR\cos\theta\). משימור אנרגיה, \(\tfrac12v_0^2=gR(1-\cos\theta)+\tfrac12v^2\): \[2gR=gR-gR\cos\theta-\tfrac12gR\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=-\tfrac23,\quad\theta=131.8^\circ,\quad h=R(1-\cos\theta)=\tfrac53R\]

מסה \(m=0.5\,\text{kg}\) תלויה מהתקרה בקפיץ \(k=100\,\text{N/m}\) שאורכו הטבעי \(l_0=2\,\text{m}\). מושכים אותה \(0.3\,\text{m}\) מתחת לנש”מ ומקנים לה \(4\,\text{m/s}\) כלפי מעלה. 1. מהו המרחק המרבי מהתקרה? 2. מהי המהירות המרבית?

פתרון. \(y_0=mg/k=0.049\,\text{m}\). ביחס לנש”מ: \(\tfrac12\cdot0.5\cdot16+\tfrac12\cdot100\cdot0.09=8.5\,\text{J}=\tfrac12\cdot100\,C^2\Rightarrow C=0.412\,\text{m}\). 1. \(y_{\max}=l_0+y_0+C=2.461\,\text{m}\). 2. בנש”מ: \(8.5=\tfrac12\cdot0.5\,v^2\Rightarrow v_{\max}=5.83\,\text{m/s}\).

(פתרון “רגיל” עם כובד ומדידה מהרפיון נותן משוואה ריבועית \(50y^2+4.9y-8.38=0\) ואותה תוצאה – הדרך דרך נש”מ קצרה יותר.)

גוף \(m\) על מדרון חלק (\(\sin\alpha=0.6\)) מחובר לקפיץ שקצהו העליון מקובע בראש המדרון (אורך רפוי \(l_0\), \(k=F_0/l_0\)). ציר \(x\) לאורך המדרון, במורד, מנקודת העיגון. על הגוף פועל כוח אופקי קבוע \(F_0=mg\) המכוון אל המדרון. בהתחלה הקפיץ מתוח ב-\(0.2l_0\) והגוף במנוחה. 1. סביב איזו נקודה \(x_c\) מתבצעת התנודה? 2. מהי האמפליטודה? 3. מהו זמן המחזור? 4. מהו \(x(t)\)? 5. עבור \(l_0=1\,\text{m}\) – מתי בפעם השנייה יעבור הגוף ב-\(x=0.6l_0\)?

פתרון. 1. בנש”מ: \(mg\sin\alpha-F_0\cos\alpha-k(x_c-l_0)=0\Rightarrow x_c=l_0+\dfrac{0.6mg-0.8mg}{mg/l_0}=0.8l_0\). 2. השחרור ממנוחה ב-\(1.2l_0\), ולכן \(C=1.2l_0-0.8l_0=0.4l_0\). 3. \(\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{g/l_0}\), \(T=2\pi\sqrt{l_0/g}\) (לא תלוי באמפליטודה). 4. \(x(t)=0.8l_0+0.4l_0\cos\!\big(\sqrt{g/l_0}\,t\big)\). 5. \(\cos(\omega t)=-\tfrac12\Rightarrow\omega t=\tfrac{2\pi}{3}\) (פעם ראשונה), \(\tfrac{4\pi}{3}\) (פעם שנייה): \(t_2=\tfrac{4\pi}{3}\sqrt{l_0/g}=1.34\,\text{s}\).

כוח שקול \(F=5t^2\,\text{N}\) פועל על גוף \(5\,\text{kg}\) שהיה במנוחה. מהו ההספק?

פתרון. \(a=t^2\), \(v=t^3/3\), \(P=Fv=\tfrac53t^5\,\text{W}\). בדיקה: \(\int_0^tP\,dt=\tfrac{5}{18}t^6=\tfrac12\cdot5\cdot\big(t^3/3\big)^2=E_k\). ✓

גוף \(2\,\text{kg}\) משוחרר ממנוחה מגובה \(5\,\text{m}\) על מסילה, ובסופה פוגע בקפיץ אופקי (\(k=800\,\text{N/m}\)) על משטח חלק. מהו הכיווץ המרבי? ואם בקטע אופקי באורך \(3\,\text{m}\) לפני הקפיץ \(\mu_k=0.2\)? ← לפתרון

האם \(\vec F=(y\cos x,\;\sin x+2y,\;0)\) משמר? אם כן, מצאו את \(U\) ואת העבודה מ-\((0,0)\) ל-\((\pi/2,\,1)\). ← לפתרון

ללא חיכוך: \(mgh=\tfrac12kx^2\Rightarrow x=\sqrt{2\cdot2\cdot9.8\cdot5/800}=0.495\,\text{m}\). עם חיכוך: \(98-0.2\cdot2\cdot9.8\cdot3=86.24=400x^2\Rightarrow x=0.464\,\text{m}\). ↑ חזרה לשאלה

\(\partial F_y/\partial x=\cos x=\partial F_x/\partial y\) – משמר. \(U=-y\sin x-y^2\), \(W=-(U_f-U_i)=-(-1-1-0)=2\,\text{J}\). ↑ חזרה לשאלה

\(m_1\) נע במהירות \(v\hat x\) ומתנגש אלסטית חזיתית ב-\(m_2\) הנייח. מצאו את \(u_1,u_2\), ובחנו את המקרים \(m_1=m_2\), \(m_1>m_2\), \(m_1\gg m_2\), \(m_1<m_2\), \(m_1\ll m_2\).

פתרון. \(u_1+v=u_2\) ו-\(m_1v=m_1u_1+m_2u_2\) נותנים \[u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v,\qquad u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v\] * \(m_1=m_2\): \(u_1=0\), \(u_2=v\) – החלפת מהירויות (כמו בעריסת ניוטון). * \(m_1>m_2\): \(0<u_1<v\), \(u_2>v\); ובגבול \(m_1\gg m_2\): \(u_1\approx v\), \(u_2\approx2v\). * \(m_1<m_2\): \(u_1<0\) (נרתע), \(0<u_2<v\); ובגבול \(m_1\ll m_2\): \(u_1\approx-v\), \(u_2\approx0\) (כדור מקיר).

גוף \(m_1=5\,\text{kg}\) נע במהירות \((2,0)\,\text{m/s}\) ופוגע אלסטית במשולש \(m_2=8\,\text{kg}\) נייח. אחרי ההתנגשות \(m_1\) נע בכיוון \(\hat y\). 1. מצאו את שתי המהירויות. 2. מהו המתקף על המשולש? 3. אם ההתנגשות נמשכה \(3\,\text{ms}\) – מהו הכוח הממוצע על \(m_1\)?

פתרון. תנע: \(x\): \(10=8u_{2x}\Rightarrow u_{2x}=1.25\); \(y\): \(0=5u_{1y}+8u_{2y}\Rightarrow u_{2y}=-\tfrac58u_{1y}\). אנרגיה: \(20=5u_{1y}^2+8\big(1.5625+u_{2y}^2\big)\Rightarrow8.125u_{1y}^2=7.5\Rightarrow u_{1y}=0.961\).

1. \(\vec u_1=(0,\,0.961)\), \(\vec u_2=(1.25,\,-0.60)\,\text{m/s}\).
2. \(\vec J_2=m_2\vec u_2=(10,\,-4.8)\,\text{N·s}\). 3. \(\vec J_1=-\vec J_2\), \(\vec F_{av}=(-3333,\,1600)\,\text{N}\), \(|\vec F_{av}|=3697\,\text{N}\).

תותח \(m_1=m\) טעון בקליע \(m_2=0.1m\) ומחובר לקפיץ \(k\) שקצהו בקיר; הקפיץ רפוי. בירי פועל על הקליע כוח קבוע \(F=mv/\varepsilon\) במשך זמן קצר מאוד \(\varepsilon\). 1. מהו המתקף? 2. מהן המהירויות מיד אחרי הירי? 3. הראו שההעתק בזמן הירי זניח. 4. מהו הכיווץ המרבי של הקפיץ?

פתרון. 1. \(J=\int_0^\varepsilon\dfrac{mv}{\varepsilon}dt=mv\). 2. על הקליע \(+mv\hat x\) ועל התותח \(-mv\hat x\): \(\vec v_2=10v\hat x\), \(\vec v_1=-v\hat x\). 3. תאוצת הקליע \(a=mv/(m_2\varepsilon)\), ההעתק \(\tfrac12a\varepsilon^2=\dfrac{mv\varepsilon}{2m_2}\to0\) כאשר \(\varepsilon\to0\); גם לתותח. 4. \(\tfrac12mv^2=\tfrac12kx^2\Rightarrow x_{\max}=v\sqrt{m/k}\).

עגלה \(m_1\) נעה במהירות \(v_0\); בחזיתה קפיץ (\(k\), אורך טבעי \(l_0\)) הנצמד לעגלה \(m_2\) הנייחת. 1. מהי המהירות המשותפת? 2. מהו הכיווץ המרבי? 3. מהם המרחקים המינימלי והמרבי בין העגלות לאחר מכן?

פתרון. 1. בכיווץ מרבי שתי העגלות נעות יחד: \(u=\dfrac{m_1v_0}{m_1+m_2}\). 2. \(\tfrac12m_1v_0^2=\tfrac12(m_1+m_2)u^2+\tfrac12kx^2\Rightarrow x=v_0\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\). 3. התנודה סימטרית: \(l_{\min}=l_0-x\), \(l_{\max}=l_0+x\).

גוף \(m=1\,\text{kg}\) נזרק במהירות \(30\,\text{m/s}\) בזווית \(\theta\) (\(\sin\theta=0.8\)). בשיא הוא מתפוצץ לחלקים \(\tfrac23m\) (מאחור) ו-\(\tfrac13m\) (מלפנים) העפים אופקית, ואנרגיית החלקים גדולה פי 3 מזו של הגוף לפני הפיצוץ. 1. מהן מהירויות החלקים? 2. מה המרחק ביניהם על הקרקע? 3. מהן מהירויותיהם בפגיעה? 4. החלק הקל פוגע במשטח אלסטי ונרתע ללא איבוד אנרגיה: מהו המתקף? 5. אם ההתנגשות נמשכה \(3\,\text{ms}\) – מהו הכוח הנורמלי הממוצע?

פתרון. בשיא \(v=v_0\cos\theta=18\,\text{m/s}\) (אופקית). 1. תנע: \(18=\tfrac23u_1+\tfrac13u_2\Rightarrow u_2=54-2u_1\). אנרגיה: \(3\cdot\tfrac12\cdot18^2=\tfrac13u_1^2+\tfrac16u_2^2\Rightarrow2916=2u_1^2+u_2^2\). הצבה: \(6u_1(u_1-36)=0\). הפתרון \(u_1=36\), \(u_2=-18\) פירושו שהחלק הקל (שנמצא מלפנים) נע אחורה דרך הכבד – לא אפשרי. לכן \(u_1=0\), \(u_2=54\,\text{m/s}\). 2. גובה השיא \(h=\dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}=\dfrac{24^2}{19.6}=29.39\,\text{m}\); זמן הנפילה \(t=24/9.8=2.45\,\text{s}\). החלק הכבד נופל אנכית, הקל עובר \(54\cdot2.45=132.2\,\text{m}\) – זה המרחק ביניהם. 3. \(\vec v_1=(0,-24)\), \(\vec v_2=(54,-24)\,\text{m/s}\). 4. \(\vec J=\tfrac13\big[(54,24)-(54,-24)\big]=(0,\,16)\,\text{N·s}\). 5. \(N_{av}\approx J/\Delta t=5333\,\text{N}\) (תוספת \(mg\approx3.3\,\text{N}\) זניחה – ראו דוגמה 9.6).

כדור \(m\) נופל מגובה \(h\) וקופץ אלסטית מהרצפה; ההתנגשות נמשכת \(\Delta t\). מהו הכוח הנורמלי הממוצע?

פתרון. \(\int_0^{\Delta t}(N-mg)dt=\Delta p=2m\sqrt{2gh}\Rightarrow N_{av}=m\Big(\dfrac{2\sqrt{2gh}}{\Delta t}+g\Big)\). עבור \(h=1\,\text{m}\), \(\Delta t=3\,\text{ms}\): \(N_{av}=m(2951.5+9.8)\) – הכובד זניח לעומת האיבר הדינמי. לכן בהתנגשויות קצרות מותר להזניח כוחות “רגילים” ולהניח שימור תנע.

כוכב \(M=49m\) במנוחה מתפרק לחלקים \(48m\) ו-\(m\). ביניהם פועל כוח פנימי \(F(t)=F_0(1+t^2/c)\) עד רגע הניתוק \(t_c\), וידוע שהכוח הממוצע בפרק זמן זה הוא \(4F_0\). החלק הקטן נפלט בזווית \(\alpha=10^\circ\) לציר הרדיאלי. 1. מצאו את \(t_c\). 2. מצאו את מהירויות החלקים מיד אחרי הניתוק ואת כיוון שארית הכוכב.

פתרון. 1. \(J=F_0\big(t_c+\tfrac{t_c^3}{3c}\big)=4F_0t_c\Rightarrow t_c=3\sqrt c\). 2. \(J=4F_0t_c=12F_0\sqrt c\). החלק הקטן: \(u=J/m=12F_0\sqrt c/m\). השארית: \(U=J/48m=F_0\sqrt c/(4m)\), בכיוון מנוגד (התנע הכולל אפס), כלומר בזווית \(\beta=\alpha=10^\circ\) לציר הרדיאלי, בצד השני.

מדרון \(m_1=5\,\text{kg}\) (\(\sin\theta=0.6\)) נח על משטח המודד כוח. עליו אופניים \(m_2=1\,\text{kg}\) המאיצים במעלה בתאוצה \(5\,\text{m/s}^2\) ומכונית \(m_3=3\,\text{kg}\) המאיצה במורד בתאוצה \(3\,\text{m/s}^2\); \(\mu_k=0.2\) בין הגלגלים למדרון. מהו הכוח שהמדרון מפעיל על המשטח?

פתרון. נתייחס לכל השלושה כמערכת אחת; כוחות החיכוך בין הגלגלים למדרון פנימיים – הנתון \(\mu_k\) מיותר! \(\vec a_2=(-4,3)\), \(\vec a_3=(2.4,-1.8)\) (המדרון יורד ימינה), \(\vec a_1=0\). \[(0,-9\cdot9.8)+\vec F=1\cdot(-4,3)+3\cdot(2.4,-1.8)=(3.2,-2.4)\Rightarrow\vec F=(3.2,\;85.8)\,\text{N}\] \(\vec F\) הוא הכוח של המשטח על המערכת. לפי החוק השלישי, הכוח על המשטח: \((-3.2,\;-85.8)\,\text{N}\) – כלפי מטה, עם רכיב אופקי קטן.

\(m_1=2\,\text{kg}\) ו-\(m_2=3\,\text{kg}\) על שולחן חלק מחוברות בקפיץ \(k=100\,\text{N/m}\) שאורכו הרפוי \(l_0=1\,\text{m}\); \(m_1\) בראשית. ב-\(t=0\): \(v_1=3\,\text{m/s}\), \(v_2=1\,\text{m/s}\) (שתיהן ב-\(+\hat x\)). 1. האם המערכת סגורה? 2. מצאו את \(V_{cm}\) ואת \(X_{cm}(t)\). 3. מהי ההתארכות המרבית? 4. הראו ש-\(r=x_2-x_1-l_0\) מקיים \(\ddot r+\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}r=0\). 5. כמה זמן עובר בין כיווץ מרבי להתארכות מרבית?

פתרון. 1. כן – שקול הכוחות החיצוניים אפס (כובד ונורמל מתבטלים). 2. \(V_{cm}=\dfrac{2\cdot3+3\cdot1}{5}=1.8\,\text{m/s}\); \(X_{cm}(0)=\dfrac{3\cdot1}{5}=0.6\); \(X_{cm}(t)=0.6+1.8t\,\text{m}\). 3. בקיצון המסות נעות יחד ב-\(V_{cm}\): \(10.5=\tfrac12\cdot5\cdot1.8^2+50x^2=8.1+50x^2\Rightarrow x_{\max}=0.219\,\text{m}\). 4. \(m_1\ddot x_1=k r\), \(m_2\ddot x_2=-kr\); חיסור: \(\ddot r=-kr\big(\tfrac1{m_1}+\tfrac1{m_2}\big)\). ✓ 5. \(\omega_0=\sqrt{k(m_1+m_2)/(m_1m_2)}=9.13\,\text{rad/s}\); חצי מחזור: \(\pi/\omega_0=0.344\,\text{s}\).

שני ליצנים, כל אחד במסה \(m\), נורים יחד מתותח \(M\) (על רצפה חלקה) בזווית \(\alpha\) ובמהירות \(v_0\) ביחס לקרקע. בשיא הם דוחפים זה את זה אופקית ונוחתים באותו רגע; אחד נוחת ב-\(x_1\). 1. היכן נוחת השני? 2. מהי מהירות הרתיעה של התותח? 3. מהו המתקף שהרצפה מפעילה על התותח בזמן הירי?

פתרון. 1. הדחיפה פנימית – מרכז המסה ממשיך במסלול המקורי ונוחת ב-\(x_{cm}=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}\). מכיוון שהמסות שוות ונוחתות יחד: \(x_2=2x_{cm}-x_1\). 2. תנע אופקי (הרצפה חלקה): \(MV=2mv_0\cos\alpha\Rightarrow V=\dfrac{2mv_0\cos\alpha}{M}\) (אחורה). 3. בכיוון האנכי הרצפה “בולעת” את התנע של הליצנים (בהזנחת מתקף הכובד בזמן הירי הקצר): \(\vec J=(0,\;2mv_0\sin\alpha)\).

מטוטלת בליסטית: קליע \(10\,\text{g}\) ננעץ בגוש עץ \(2\,\text{kg}\) התלוי בחוט, והגוש מתרומם \(8\,\text{cm}\). מהי מהירות הקליע? איזה חלק מהאנרגיה אבד? ← לפתרון

כדור \(0.2\,\text{kg}\) פוגע בקיר במהירות \(10\,\text{m/s}\) בזווית \(60^\circ\) לנורמל וניתז אלסטית. מהו המתקף? אם המגע נמשך \(5\,\text{ms}\) – מהו הכוח הממוצע? ← לפתרון

אחרי ההתנגשות: \(u=\sqrt{2gh}=1.252\,\text{m/s}\); לפני: \(v=\dfrac{2.01}{0.01}u=251.7\,\text{m/s}\). החלק שנשמר \(\dfrac{m}{m+M}=0.5\%\) – כמעט כל האנרגיה (99.5%) אבדה. ↑ חזרה לשאלה

הרכיב הנורמלי מתהפך: \(J=2mv\cos60^\circ=2\,\text{N·s}\) בכיוון הנורמל (החוצה מהקיר); \(F_{av}=400\,\text{N}\). ↑ חזרה לשאלה

גוף \(m=4\,\text{kg}\) על משטח חלק מחובר לקפיץ \(k=100\,\text{N/m}\). הקפיץ מכווץ ב-\(0.2\,\text{m}\) והגוף מקבל מהירות \(2\,\text{m/s}\) ב-\(+\hat x\) (הראשית ברפיון). 1. מצאו את \(x(t)\) בשתי ההצגות. 2. מתי בפעם השנייה יגיע הגוף ל-\(x=-0.4\,\text{m}\)?

פתרון. \(\omega=5\,\text{rad/s}\). 1. \(A=-0.2\), \(B=2/5=0.4\): \(x=-0.2\cos5t+0.4\sin5t\); \(v=\sin5t+2\cos5t\); \(a=5\cos5t-10\sin5t\).

הצגה מצומצמת: \(C\cos\varphi=-0.2\), \(C\sin\varphi=-0.4\) – שניהם שליליים, רביע שלישי: \(\tan\varphi=2\), \(\varphi=\pi+1.107=4.249\,\text{rad}\), \(C=\sqrt{0.2}=0.447\,\text{m}\). כלומר \(x=0.447\cos(5t+4.249)\).

2. \(\cos(5t+4.249)=-0.4/0.447=-0.894\Rightarrow5t+4.249=\pm2.678+2\pi n\), ומכאן \(t=\dfrac{\pm2.678-4.249+2\pi n}{5}\). הפתרונות החיוביים הקטנים: \(t=0.942\,\text{s}\) (\(+\), \(n=1\)) ו-\(t=1.128\,\text{s}\) (\(-\), \(n=2\)). הפעם השנייה: \(t=1.128\,\text{s}\). (הגוף עולה ל-\(+0.447\), חוזר, עובר ב-\(-0.4\) בדרך ל-\(-0.447\) ושוב בחזרה.)

עבור המערכת של דוגמה 8.7, מצאו את מיקום הגוף ביחס לתקרה כתלות בזמן (ציר \(y\) כלפי מעלה).

פתרון. \(\omega=\sqrt{200}=14.14\,\text{rad/s}\). ביחס לנש”מ: \(Y(0)=-0.3\), \(\dot Y(0)=4\Rightarrow B=4/14.14=0.283\). נש”מ נמצאת \(l_0+y_0=2.049\,\text{m}\) מתחת לתקרה: \[y(t)=-2.049-0.3\cos(14.14t)+0.283\sin(14.14t)\ \text{m}\] האמפליטודה \(\sqrt{0.3^2+0.283^2}=0.412\,\text{m}\) – כמו בדוגמה 8.7. ✓

גוף \(m\) על מדרון חלק (\(\sin\alpha=0.6\)) מחובר לקפיץ (\(l_0\), \(k=mg/l_0\)) שקצהו העליון מקובע בראש המדרון; \(x\) נמדד במורד מנקודת העיגון. בהתחלה הקפיץ מכווץ ב-\(0.2l_0\) והגוף במנוחה. מצאו את מרכז התנודה, האמפליטודה ו-\(x(t)\).

פתרון. נש”מ: \(mg\sin\alpha-k(x_c-l_0)=0\Rightarrow x_c=l_0+0.6l_0=1.6l_0\). השחרור ממנוחה ב-\(0.8l_0\), ולכן \(C=1.6l_0-0.8l_0=\mathbf{0.8l_0}\). \(x(t)=1.6l_0-0.8l_0\cos\!\big(\sqrt{g/l_0}\,t\big)\). (השוו לדוגמה 8.8, שבה הכוח האופקי הזיז את נש”מ ל-\(0.8l_0\).)

גוף \(m_1=10\,\text{kg}\) תלוי בחוט \(L=2\,\text{m}\). גוף \(m_2=2\,\text{kg}\) במהירות אופקית \(6\,\text{m/s}\) פוגע בו ונצמד. 1. בדקו שהזווית המרבית קטנה. 2. מהו ההעתק האופקי המרבי? 3. רשמו את \(x(t)\).

פתרון. תנע: \(u=\dfrac{2\cdot6}{12}=1\,\text{m/s}\). אנרגיה: \(h=u^2/2g=0.051\,\text{m}\); \(\cos\theta_{\max}=1-h/L\Rightarrow\theta_{\max}=12.97^\circ=0.226\,\text{rad}\) – קטנה (\(\sin\theta\approx\theta\) בשגיאה של פחות מ-1%). 2. \(x_{\max}\approx L\theta_{\max}=0.452\,\text{m}\). 3. \(\omega=\sqrt{g/L}=2.21\,\text{rad/s}\), \(x(0)=0\), \(v(0)=1\): \(x(t)=\dfrac{1}{2.21}\sin(2.21t)=0.452\sin(2.21t)\,\text{m}\).

גוף \(0.5\,\text{kg}\) על קפיץ מבצע \(10\) תנודות ב-\(4\,\text{s}\), והמהירות המרבית שלו \(1.5\,\text{m/s}\). מצאו את \(k\), את האמפליטודה ואת האנרגיה הכוללת. ← לפתרון

מה צריך להיות אורך מטוטלת שזמן מחזורה \(2\,\text{s}\) על פני כדור הארץ? מה יהיה זמן מחזורה על הירח (\(g_M=1.62\,\text{m/s}^2\))? ← לפתרון

\(T=0.4\,\text{s}\), \(\omega=15.71\,\text{rad/s}\), \(k=m\omega^2=123.4\,\text{N/m}\), \(C=v_{\max}/\omega=0.0955\,\text{m}\), \(E=\tfrac12mv_{\max}^2=0.5625\,\text{J}\). ↑ חזרה לשאלה

\(L=g(T/2\pi)^2=0.993\,\text{m}\); על הירח \(T=2\pi\sqrt{0.993/1.62}=4.92\,\text{s}\). ↑ חזרה לשאלה

גוף \(m=1\,\text{kg}\) על שולחן חלק קשור בחוט העובר דרך חור במרכז. בהתחלה \(r_0=1\,\text{m}\) והוא מקבל \(v_0=2\,\text{m/s}\) בניצב לחוט, ובו בזמן מושכים את החוט. 1. האם \(L\) נשמר? 2. מה המהירות ב-\(r_1=0.8\,\text{m}\), אם היא יוצרת זווית \(36.87^\circ\) עם החוט? 3. מהי מהירות ההתקרבות לחור כאשר \(v_2=10\,\text{m/s}\) ו-\(r_2=0.6\,\text{m}\)? 4. ב-\(r_3=0.4\,\text{m}\) מהירות ההתקרבות \(1\,\text{m/s}\) – מהי המהירות הכוללת?

פתרון. 1. כן – כוח המתיחות מרכזי (מכוון לחור). \(L=r_0mv_0=2\,\text{kg·m}^2/\text{s}\). 2. \(2=0.8\cdot v_1\sin36.87^\circ\Rightarrow v_1=4.17\,\text{m/s}\). 3. \(v_\perp=L/(mr_2)=3.33\), \(v_r=\sqrt{100-11.1}=9.43\,\text{m/s}\). 4. \(v_\perp=2/0.4=5\), \(v_3=\sqrt{25+1}=5.10\,\text{m/s}\).

טיל משוגר בכיוון לא אנכי ומתפרק בגובה רב לשלושה חלקים שווים \(m\): \(A\) במהירות \(v\) אופקית אחורה, \(C\) במהירות \(4v\) אופקית קדימה, ו-\(B\) במהירות \(4v\) אנכית למעלה. בטאו בעזרת \(v,m,M_E,G\): 1. את מהירות הטיל לפני ההתפרקות. 2. \(C\) נע במסלול מעגלי – מה רדיוסו \(r\)? 3. \(B\) עולה אנכית – מהו המרחק המרבי ממרכז הארץ? 4. \(A\) במסלול לא מעגלי מגיע ל-\(r_H=\tfrac45r\) – מה מהירותו שם ומה כיוונה?

פתרון. 1. \(3m\vec u=m(4v-v,\;4v)\Rightarrow\vec u=\big(v,\;\tfrac43v\big)\). 2. \(\dfrac{m(4v)^2}{r}=\dfrac{GM_Em}{r^2}\Rightarrow r=\dfrac{GM_E}{16v^2}\). 3. \(-\dfrac{GM_E}{r_{\max}}=8v^2-\dfrac{GM_E}{r}=8v^2-16v^2\Rightarrow r_{\max}=\dfrac{GM_E}{8v^2}=2r\). 4. אנרגיה: \(\tfrac12v^2-16v^2=\tfrac12v_H^2-20v^2\Rightarrow v_H=3v\). תנע זוויתי: \(rv=\tfrac45r\cdot3v\sin\theta\Rightarrow\sin\theta=\tfrac5{12}\), \(\theta=24.6^\circ\) בין המהירות לרדיוס: רכיב משיקי \(1.25v\) ורכיב רדיאלי (פנימה) \(2.73v\).

לוויין \(m\) סביב כוכב \(M\) (רדיוס \(R\)). מנוע מפעיל עליו כוח רדיאלי החוצה \(F(r)\), ומסלולו זהה למסלול סביב כוכב שמסתו \(M/2\) ללא מנוע. בנקודה \(a\) (\(r_a=5R\)) מהירותו \(v_a\) שווה בגודלה למהירות הדרושה למסלול מעגלי שם ללא המנוע, והיא יוצרת זווית \(\alpha=30^\circ\) עם הרדיוס. 1. מצאו את \(F(r)\) וקבעו אם המסלול פתוח. 2. מצאו את \(r_b\) ו-\(v_b\) בנקודה הקרובה ביותר. 3. ב-\(b\) המנוע נכבה – מה צורת המסלול מעתה?

פתרון. 1. \(\dfrac{GMm}{r^2}-F=\dfrac{G(M/2)m}{r^2}\Rightarrow F(r)=\dfrac{GMm}{2r^2}\). \(v_a=\sqrt{GM/5R}\); במודל “\(M/2\)”: \(E=m\Big[\tfrac12\dfrac{GM}{5R}-\dfrac{GM/2}{5R}\Big]=0\) – מסלול פתוח (פרבולי). 2. \(E=0\): \(v_b^2=GM/r_b\). תנע זוויתי (הכוח השקול מרכזי): \(r_bv_b=r_av_a\sin30^\circ\). מכאן \(r_b=\dfrac{(r_av_a/2)^2}{GM}=\dfrac54R\) ו-\(v_b=2\sqrt{\dfrac{GM}{5R}}\). 3. ללא מנוע: \(E=m\Big[\tfrac12\dfrac{4GM}{5R}-\dfrac{4GM}{5R}\Big]=-\dfrac{2GMm}{5R}<0\) – סגור. המהירות המעגלית ב-\(r_b\) היא \(\sqrt{GM/(5R/4)}=2\sqrt{GM/5R}=v_b\), והמהירות ניצבת לרדיוס – מסלול מעגלי.

לוויין \(m\) במסלול מעגלי \(r_A=3R\) במהירות \(v_0\) סביב כוכב (מסתו לא נתונה). ב-\(A\) מופעל כוח מרכזי \(\vec F_s=-\dfrac{5mv_0^2}{R}e^{-r/R}\hat r\), ומופסק ב-\(r_B=2R\). 1. מהי עבודת \(\vec F_s\)? 2. האם הוא משמר? 3. מצאו את \(v_B\) ואת הזווית \(\beta\) בין \(\vec v_B\) לרדיוס. 4. מה צורת המסלול מ-\(B\)?

פתרון. 1. \(W_s=\int_{3R}^{2R}F_s\,dr=5mv_0^2\big[e^{-r/R}\big]_{3R}^{2R}=5(e^{-2}-e^{-3})mv_0^2=0.428\,mv_0^2>0\) (הכוח פנימה והלוויין מתקרב). 2. כוח מרכזי – משמר, \(U_s=-5mv_0^2e^{-r/R}\). 3. \(GM=3Rv_0^2\), ולכן \(W_g=GMm\big(\tfrac1{2R}-\tfrac1{3R}\big)=\tfrac12mv_0^2\). \(\tfrac12mv_B^2=\tfrac12mv_0^2+0.428mv_0^2+\tfrac12mv_0^2\Rightarrow v_B=1.69v_0\). תנע זוויתי: \(1.69v_0\cdot2R\sin\beta=3Rv_0\Rightarrow\sin\beta=0.888\), \(\beta=62.6^\circ\) (הפתרון \(117.4^\circ\) נפסל – הלוויין מתקרב). 4. \(E=\tfrac12m(2.855v_0^2)-\dfrac{3Rv_0^2m}{2R}=-0.072mv_0^2<0\) – סגור, ו-\(\beta\neq90^\circ\), לכן אליפסה (לא מעגל).

לוויין \(2m\) במסלול מעגלי \(r=5R_E\) (עם כיוון השעון) מתפוצץ לשני חלקים שווים. חלק 1 ניתז קדימה בזווית \(\theta_1\) מעל המשיק (\(\sin\theta_1=0.6\)), וחלק 2 ניתז אחורה בזווית \(\theta_2\) מתחת למשיק (\(\sin\theta_2=0.8\)). 1. מהי מהירות הלוויין לפני? 2. מהן מהירויות החלקים? 3. סגור או פתוח? 4. מהם רכיבי מהירות חלק 2 בגובה \(2R_E\) מעל פני הארץ?

פתרון. 1. \(v=\sqrt{GM/5R_E}\). 2. רדיאלי: \(u_1\sin\theta_1=u_2\sin\theta_2\Rightarrow u_2=\tfrac34u_1\). משיקי: \(2v=u_1\cos\theta_1-u_2\cos\theta_2=0.8u_1-0.45u_1\Rightarrow u_1=5.71v\), \(u_2=4.29v\). 3. \(v_{esc}=\sqrt2v=1.41v\) – שני החלקים בורחים (מסלולים פתוחים). 4. \(r=3R_E\). משיקי (תנע זוויתי): \(v_t=\tfrac53u_2\cos\theta_2=4.29v=1.92\sqrt{GM/R_E}\). כולל (אנרגיה): \(v^2_{3R}=u_2^2+2GM\big(\tfrac1{3R_E}-\tfrac1{5R_E}\big)\Rightarrow v_{3R}=1.98\sqrt{GM/R_E}\). רדיאלי: \(v_r=\sqrt{v_{3R}^2-v_t^2}=0.51\sqrt{GM/R_E}\).

לוויין \(m\) במסלול מעגלי \(5R_E\). כדי שיקיף מהר יותר באותו רדיוס, מנועיו דוחפים אותו פנימה (\(-\hat r\)) בכוח הגדול פי 4 מכוח הכבידה שם. 1. מהי עבודת המנועים בהקפה? 2. מהי מהירותו? כשהדלק נגמר הוא עוזב את המעגל. 3. מהם רכיבי המהירות בגובה \(6R_E\) מעל הפנים? 4. האם המסלול סגור?

פתרון. 1. אפס – הכוח ניצב למסלול. 2. \(5\dfrac{GMm}{25R_E^2}=\dfrac{mv^2}{5R_E}\Rightarrow v=\sqrt{GM/R_E}\). 3. \(r=7R_E\). \(E=-\dfrac{GMm}{5R_E}+\dfrac{GMm}{2R_E}=\dfrac{3GMm}{10R_E}\); \(v_7^2=2\big(\tfrac3{10}+\tfrac17\big)\dfrac{GM}{R_E}=\dfrac{31}{35}\dfrac{GM}{R_E}\), \(v_7=0.941\sqrt{GM/R_E}\). משיקי: \(v_t=\tfrac57\sqrt{GM/R_E}=0.714\sqrt{GM/R_E}\). רדיאלי: \(\sqrt{\tfrac{31}{35}-\tfrac{25}{49}}=\mathbf{0.613}\sqrt{GM/R_E}\). 4. \(E>0\) – פתוח; האנרגיה הקינטית באינסוף \(\dfrac{3GMm}{10R_E}\).

שתי מסות \(m\) ו-\(M\) במרחק \(d\) מסתובבות זו סביב זו (תמיד על ישר אחד העובר במרכז המשותף). 1. האם התנע הקווי נשמר? 2. הראו ש-\(r_1/r_2=M/m\). 3. הראו ש-\(T=2\pi\sqrt{d^3/G(M+m)}\). 4. איזה מרחק עוברת \(m\) בזמן מחזור, בעיני צופה היושב על \(M\)?

פתרון. 1. כן – רק כוחות פנימיים. 2. לשתיהן אותה \(\omega\): \(\dfrac{GMm}{d^2}=m\omega^2r_1=M\omega^2r_2\Rightarrow mr_1=Mr_2\) (כלומר המרכז הוא מרכז המסה). 3. חלוקה במסה וחיבור: \(\dfrac{G(M+m)}{d^2}=\omega^2(r_1+r_2)=\omega^2d\), ועם \(\omega=2\pi/T\) מתקבל הדרוש. 4. בעיני הצופה על \(M\), המסה \(m\) נעה במעגל ברדיוס \(d\): \(2\pi d\).

מצאו את רדיוס המסלול ואת הגובה של לוויין גיאוסטציונרי (\(T=24\,\text{h}\)). ← לפתרון

גוף משוגר אנכית מפני כדור הארץ במהירות \(8\,\text{km/s}\). לאיזה גובה יגיע? (הזניחו את סיבוב הארץ והאוויר.) ← לפתרון

\(r=\big(GMT^2/4\pi^2\big)^{1/3}=4.22\times10^7\,\text{m}\); גובה \(\approx35{,}800\,\text{km}\). ↑ חזרה לשאלה

\(\tfrac12v^2-\dfrac{GM}{R}=-\dfrac{GM}{r}\Rightarrow r=\dfrac{R}{1-\frac{v^2R}{2GM}}\). עם \(GM/R=gR=6.25\times10^7\,\text{m}^2/\text{s}^2\): \(\frac{v^2R}{2GM}=0.512\), ולכן \(r=2.05R=1.31\times10^7\,\text{m}\) – גובה של כ-\(6{,}700\,\text{km}\). (הנוסחה \(v^2/2g\) הייתה נותנת רק \(3{,}260\,\text{km}\) – הכבידה נחלשת עם הגובה.) ↑ חזרה לשאלה

\(m_1\) ו-\(m_2>m_1\) תלויות משני צדי גלגלת – דסקה במסה \(M\) ורדיוס \(R\); החוט אינו מחליק. מצאו את התאוצה ואת המתיחויות.

פתרון. \(m_2g-T_2=m_2a\), \(T_1-m_1g=m_1a\), ולגלגלת \((T_2-T_1)R=I\alpha=\tfrac12MR^2\cdot\dfrac aR\). חיבור: \[a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+\tfrac12M}\] המתיחויות שונות משני הצדדים – ההפרש ביניהן הוא שמסובב את הגלגלת. עבור \(M=0\) חוזרים לתרגיל 5.1.

גוף עגול (מסה \(M\), רדיוס \(R\), \(I_{cm}=\beta MR^2\)) מתגלגל ללא החלקה ממנוחה במורד מדרון בזווית \(\theta\). 1. מצאו את התאוצה. 2. מהי המהירות לאחר ירידה בגובה \(h\)? 3. מהו מקדם החיכוך הסטטי המינימלי? 4. השוו בין טבעת, דסקה וכדור.

פתרון. 1. \(Mg\sin\theta-f_s=MA\); מומנט סביב המרכז: \(f_sR=I\alpha=\beta MR^2\,A/R\), כלומר \(f_s=\beta MA\). מכאן \[A=\frac{g\sin\theta}{1+\beta}\] 2. אנרגיה: \(Mgh=\tfrac12MV^2+\tfrac12\beta MR^2(V/R)^2\Rightarrow V=\sqrt{\dfrac{2gh}{1+\beta}}\). 3. \(f_s=\dfrac{\beta}{1+\beta}Mg\sin\theta\le\mu_sMg\cos\theta\Rightarrow\mu_s\ge\dfrac{\beta}{1+\beta}\tan\theta\). 4. כדור (\(\beta=\tfrac25\)): \(A=0.714g\sin\theta\) – מגיע ראשון; דסקה (\(\beta=\tfrac12\)): \(0.667g\sin\theta\); טבעת (\(\beta=1\)): \(0.5g\sin\theta\) – אחרונה. התוצאה אינה תלויה במסה וברדיוס – רק בצורה!

מוט אחיד באורך \(L\) צמוד בקצהו לציר אופקי ומשוחרר ממנוחה במצב אופקי. מהי המהירות הזוויתית כשהוא עובר במצב אנכי? מהי מהירות קצהו? ← לפתרון

דסקה \(2\,\text{kg}\) ברדיוס \(0.1\,\text{m}\) מתגלגלת ללא החלקה במהירות \(3\,\text{m/s}\). מהי האנרגיה הקינטית הכוללת, ואיזה חלק ממנה סיבובי? ← לפתרון

מטוטלת פיזיקלית: מוט אחיד באורך \(L\) מתנודד סביב קצהו. הראו שבזוויות קטנות \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}\). ← לפתרון

מרכז המסה יורד \(L/2\): \(Mg\tfrac L2=\tfrac12\cdot\tfrac13ML^2\omega^2\Rightarrow\omega=\sqrt{3g/L}\); מהירות הקצה \(L\omega=\sqrt{3gL}\) – גדולה מ-\(\sqrt{2gL}\) של גוף בנפילה חופשית מאותו גובה. ↑ חזרה לשאלה

\(E_k=\tfrac12MV^2(1+\beta)=\tfrac12\cdot2\cdot9\cdot1.5=13.5\,\text{J}\); החלק הסיבובי \(\beta/(1+\beta)=1/3\), כלומר \(4.5\,\text{J}\). (הרדיוס אינו נדרש.) ↑ חזרה לשאלה

\(\tau=-Mg\tfrac L2\sin\theta\approx-Mg\tfrac L2\theta=\tfrac13ML^2\ddot\theta\Rightarrow\ddot\theta+\dfrac{3g}{2L}\theta=0\), ומכאן \(T=2\pi\sqrt{2L/3g}\). ↑ חזרה לשאלה